[답변] "철수가 내게 오므로 기분이 좋았다."가 맞습니다. 여기서 '-므로'는 '까닭이나 근거'를 나타내는 연결 어미이므로, 철수가 내게 오는 까닭에 기분이 좋았다는 뜻으로 "철수가 내게 오므로 기분이 좋았다."라고 씁니다. '으로써'는 주로 ‘-ㅁ/-음’ 뒤에 붙어 어떤 일의 이유를 나타내는 격 조사로서 "그가 우스갯소리를 툭툭 던짐으로써 분위기가 풀렸다."와 같이 용언의 명사형 뒤에서 쓰이지만, '으로'는 '어떤 일의 원인이나 이유를 나타내는 격 조사로 '병으로 죽다'와 같이 쓰이므로 제시된 맥락에는 맞지 않습니다.